土曜日が隔週休みの時代東京都西東京市立柳沢中での話です。
柳沢中では、Ａ時間割とＢ時間割があり、1月から2月毎になっています。 土曜日が休みになっている授業が遅れるのを防ぐためです。
例えば理科が1週3時間になっているとして、Ａ組は土曜に理科があり、Ｂ組Ｃ組Ｄ組は土曜に理科がないとしましょう。 そうすると
土曜に理科のあるＡ組は1月で授業が3＋2+3+2＝10時間なのに、
Ｂ組Ｃ組Ｄ組は3＋3＋3＋3＝12時間となります。
そうすると2時間の差ができるので、そのままではＡ組だけ実験なしとか早口でわかりにくい授業にしないと授業時間が足りない事になります。
これでは困るというので他校では、普通「つっこみ」と呼ばれる方法を使っていました。 つぶれる土曜の時間割をほかの日の午前中にやるのです。 ですから1月に2日ほど例外の時間割になっていて、1時間目と5時間目が体育になったり3時間めと5時間めが音楽になったりするクラスもありました。 先生も生徒も慣れていない臨時時間割のため、生徒は教科書や授業道具を忘れる事が多く、先生も授業の準備を忘れる事が少なくありませんでした。 また先生たちはテストまでの各クラスの時間数計算をよく間違え、2日まえになってテスト範囲が終わらないと騒ぐ先生もいました。
しかし「置換」という数学の考え方を知っていれば、そういう事はなくなります。 やさしい例で、置換の考え方を説明しましょう。
いま何かクラス対抗の学年スポーツ大会を考えましょう。 かりに種目はバレーボールかバスケットボール1種目だけとします。
クラス数が2や4なら話は簡単です。2なら1試合で終わるし、4ならトーナメントになります。 3のときは総当り3試合になるでしょう。クラス数が3や4では、試合が続いて疲れるという理由で不利なクラスもできますが、仕方ないです。クジでその損なクラスを決めることになる。
例えば3クラスでＡ-Ｂ Ｂ-Ｃ Ｃ-Ａの順にするとＡが少し有利でしょう。 4クラスで第一試合であるＡ-Ｂの勝者と第2試合であるＣ-Ｄの勝者の試合ではＡ-Ｂのほうが少し有利でしょう。
クラス数が5ならどうしたら良いでしょうか。
例えば、Ａ-Ｂの試合をして、そのあと不戦勝のＣ、Ｄ、Ｅと勝ち抜きにすると、ＡとＢは3試合に勝たないと優勝できないし、疲れも大きく大変不利になる。
次の方法はどうでしょうか。
Ａ-Ｂ ／ Ｃ-Ｄ ／ Ｅ-Ａ ／ Ｂ-Ｃ ／ Ｄ-Ｅ
優勝は得たセット数、セット数が同じなら得失点差で決める。
これなら、どのクラスも2試合づつで、しかも2試合連続という事がなく公平です。
特別強いクラスとあたらないクラスが2位になりやすいというなら、不戦勝をつくるトーナメントも特別強いクラスに早く当たると不利であり、同じようなものだと思いますが…。
リーグ戦にして、この5試合のほかに
Ａ―Ｃ ／ Ｂ-Ｄ ／ Ｃ-Ｅ ／ Ｄ-Ａ ／ Ｅ-Ｂ を足す方法なら文句はでない。ただし試合は5試合から10に増える。
この組み合わせ方法は次のようにして作ります。
図のようにＡＢＣＤＥを輪の形に並べる。
最初Ａ-Ｂとすれば、輪の順にＣＤ、ＥＡ、ＢＣ、ＤＥとなります。
最初Ａ-Ｃとすれば、1つ飛んで隣との試合ですから、Ｂの相手はＤ、Ｃの相手はＥ…という風にＡＢＣＤＥを置き換える。Ｄの相手はＤＥＡでＡが1つ飛んで隣ですから、Ａになる。
このように規則をきめて、字を置き換える事を数学では「置換」といいます。
では柳沢中の時間割はどうなっているのでしょう。 教室で時間割をみるだけでは体育や技術家庭が共通だという位しかわかりませんが、職員室にある大きな時間割を見ると次のようになっています。
Ａ時間割ではＫ先生の数学が 2Ｄ 2Ａ 1Ｂ
となっている場所がＢ時間割では2Ｃ 2Ｂ 1Ａ
となっています。 つまりＡはＢに置換され、ＢはＡに置換される。
ＣはＤに置換され、ＤはＣに置換されます。
そうすると、土曜の授業はＡ時間割とＢ時間割で違い、2週間ごとに潰れるクラスが違っています。 ですから特に授業数の少ないクラスはできない。
こうすると、体育や技術家庭など2クラス合同授業の場合はＡＢ両方の時間割が同じですから、忘れ物は少なくなる。
これを数学では「柳沢中学のＡ時間割とＢ時間割が置換群になっている」といいます。
置換群というのは大学で習う数学ですが、中学でも時々応用があるのです。